Όταν εκτοξεύεται από το αυγό του, το κέλυφος ενός συγκεκριμένου καβουριού είναι 1 cm κατά μήκος όταν καλλιεργείται πλήρως περίπου 10 εκατοστά κάθε νέο onethird μεγαλύτερο από το προηγούμενο πόσα κελύφη d;

Ας δηλώσουμε το μέγεθος του κελύφους του καβουριού σε κάθε στάδιο ανάπτυξης ως εξής:

S1 =1 cm (αρχικό μέγεθος)

S2 =S1 + 1/3 S1 =4/3 cm

S3 =S2 + 1/3 S2 =7/3 cm

S4 =S3 + 1/3 S3 =10/3 cm

...

Μπορούμε να παρατηρήσουμε ένα μοτίβο εδώ. Το μέγεθος του κελύφους σε κάθε στάδιο λαμβάνεται με την προσθήκη 1/3 του μεγέθους του προηγούμενου σταδίου.

Γενικά, το μέγεθος του κελύφους στο στάδιο Nth μπορεί να εκφραστεί ως:

SN =S1 + (1/3) S1 + (1/3)^2S1 + ... + (1/3)^(N-1) S1

Για να προσδιορίσουμε τον αριθμό των κελυφών τα υπόστεγα των καβουριών (εξαιρουμένων του αρχικού κελύφους), πρέπει να βρούμε την τιμή του n για την οποία SN ≥ 10 cm.

10 cm ≤ sn

10 cm ≤ S1 + (1/3) S1 + (1/3)^2S1 + ... + (1/3)^(N-1) S1

10 cm ≤ s1 [1 + (1/3) + (1/3)^2 + ... + (1/3)^(n-1)]

Μπορούμε να αναγνωρίσουμε την έκφραση μέσα στις αγκύλες ως το άθροισμα μιας γεωμετρικής σειράς με τον πρώτο όρο 1 και την κοινή αναλογία 1/3. Το άθροισμα μιας γεωμετρικής σειράς δίνεται από:

SUM =A1 / (1 - R), όπου το A1 είναι ο πρώτος όρος και R είναι ο κοινός λόγος.

Συνδέοντας A1 =1 και R =1/3, παίρνουμε:

SUM =1/(1 - 1/3) =3/2

Επομένως,

10 cm ≤ S1 [3/2]

S1 ≥ (10 cm) * (2/3)

S1 ≥ 6,67 cm

Αυτό σημαίνει ότι το καβούρι θα ρίξει το κέλυφος του όταν φτάσει σε μέγεθος περίπου 6,67 cm.

Για να προσδιορίσουμε τον αριθμό των κελυφών που ρίχνονται, πρέπει να βρούμε την τιμή του n έτσι ώστε SN ≥ 6,67 cm.

6.67 cm ≤ S1 + (1/3) S1 + (1/3)^2S1 + ... + (1/3)^(N-1) S1

6.67 cm ≤ s1 [1 + (1/3) + (1/3)^2 + ... + (1/3)^(n-1)]

Δεδομένου ότι το άθροισμα της γεωμετρικής σειράς είναι 3/2, έχουμε:

6.67 cm ≤ s1 * (3/2)

S1 ≥ (6,67 cm) * (2/3)

S1 ≥ 4,45 cm

Αυτό σημαίνει ότι το καβούρι θα ρίξει το κέλυφος του μόλις το μέγεθος του υπερβαίνει τα 4,45 cm.

Τώρα πρέπει να καθορίσουμε τον αριθμό των σταδίων ή των molts που υφίσταται το καβούρι πριν το μέγεθος του υπερβαίνει τα 4,45 cm.

Ξεκινώντας με S1 =1 cm, μπορούμε να υπολογίσουμε τα επόμενα στάδια ως εξής:

S2 =1 cm + (1/3) cm =4/3 cm

S3 =4/3 cm + (1/3) * 4/3 cm =7/3 cm

S4 =7/3 cm + (1/3) * 7/3 cm =10/3 cm

Μπορούμε να δούμε ότι το S4 είναι μεγαλύτερο από 4,45 cm. Ως εκ τούτου, το καβούρι θα ρίξει το κέλυφος του κατά τη διάρκεια της μετάβασης από το τρίτο στάδιο (S3) στο τέταρτο στάδιο (S4).

Έτσι, το καβούρι θα έχει ρίξει 3 κελύφη (εξαιρουμένων του αρχικού κελύφους) από τη στιγμή που το μέγεθος του υπερβαίνει τα 10 cm.