* Υποθέτει είναι θεμελιώδεις υποθέσεις σε ένα σύστημα λογικής ή μαθηματικών που γίνονται αποδεκτές ως αληθινές χωρίς απόδειξη. Είναι τα σημεία εκκίνησης για την οικοδόμηση μιας λογικής δομής.
* δηλώσεις είναι απλώς ισχυρισμοί που μπορεί να είναι αληθινές ή ψευδείς. Δεν έχουν απαραιτήτως το ίδιο επίπεδο θεμελιωδίας σημασίας με τα αξιώματα.
Ας σπάσουμε τα παραδείγματα σας:
* Όλες οι γάτες περπατούν σε τέσσερα πόδια. Αυτή είναι μια γενίκευση που είναι γενικά αληθινή, αλλά όχι ένας υποψήφιος. Θα μπορούσαν να υπάρχουν εξαιρέσεις (π.χ. μια γάτα με αναπηρία).
* Ο ήλιος είναι μια καυτή σφαίρα αερίου. Αυτό είναι ένα επιστημονικό γεγονός, που υποστηρίζεται από αποδεικτικά στοιχεία και παρατήρηση. Δεν είναι ένα αξίωμα. Είναι ένα συμπέρασμα που βασίζεται στην επιστημονική έρευνα.
* Τα θηλαστικά είναι ζώα που παράγουν γάλα και έχουν μαλλιά. Αυτός είναι ένας ορισμός των θηλαστικών, όχι ένα αξίωμα. Είναι μια περιγραφή που μας βοηθά να κατηγοριοποιήσουμε τα ζώα.
Εδώ είναι μερικά παραδείγματα αξιώσεων:
* Στη γεωμετρία, τα αξιώματα του Euclid: Αυτές είναι θεμελιώδεις δηλώσεις σχετικά με τα σημεία, τις γραμμές και τα αεροπλάνα που γίνονται αποδεκτά ως αληθινά χωρίς απόδειξη.
* Στη θεωρία του συνόλου, το αξίωμα της επιλογής: Αυτός ο ισχυρισμός υποστηρίζει την ύπαρξη ενός τρόπου να επιλέξει ένα στοιχείο από κάθε σύνολο σε μια συλλογή από σύνολα, ακόμη και αν υπάρχουν απείρως πολλά σύνολα.
Η βασική διαφορά είναι ότι τα αξιώματα είναι θεμελιώδεις υποθέσεις που χρησιμοποιούνται για την οικοδόμηση ενός συστήματος λογικής ή θεωρίας, ενώ οι δηλώσεις είναι απλώς ισχυρισμοί που μπορούν να αξιολογηθούν για την αλήθεια ή την ψευδαίσθηση.